Căn bậc hai của 2

1. Giả sử rằng 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} = 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} .
2. Như vậy 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọn được nữa): a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và ( a b ) 2 = 2 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}=2}
3. Từ (2) suy ra a 2 b 2 = 2 {\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2} và a 2 = 2 b 2 {\displaystyle a^{2}=2b^{2}}
4. Khi đó a 2 {\displaystyle a^{2}} là số chẵn vì nó bằng 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} (hiển nhiên là số chẵn)
5. Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a 2 {\displaystyle a^{2}} là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
6. Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2 k ( k ∈ N ) {\displaystyle a=2k(k\in N)}
7. Thay (6) vào (3) ta có: ( 2 k ) 2 = 2 b 2 ⇔ 4 k 2 = 2 b 2 ⇔ 2 k 2 = b 2 {\displaystyle (2k)^{2}=2b^{2}\Leftrightarrow 4k^{2}=2b^{2}\Leftrightarrow 2k^{2}=b^{2}}
8. Vì 2 k 2 = b 2 {\displaystyle 2k^{2}=b^{2}} mà 2 k 2 {\displaystyle 2k^{2}} là số chẵn nên b 2 {\displaystyle b^{2}} là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn [lý luận tương tự như (5)].
9. Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."

Cách chứng minh khác

Để chứng minh: " 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số vô tỉ" người ta còn dùng phương pháp phản chứng theo một cách khác, cách này ít nổi tiếng hơn cách ở trên.

1. Giả sử rằng 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên dương m và n sao cho m n = 2 {\displaystyle {\frac {m}{n}}={\sqrt {2}}}
2. Biến đổi đẳng thức trên, ta có: m n = 2 n − m m − n {\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {2n-m}{m-n}}}
3. Vì 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} > 1, nên từ (1) suy ra m > n ⇔ m > 2 n − m {\displaystyle m>n\Leftrightarrow m>2n-m}
4. Từ (2) và (3) suy ra 2 n − m m − n {\displaystyle {\frac {2n-m}{m-n}}} là phân số rút gọn của phân số m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}}

Từ (4) suy ra, m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} không thể là phân số tối giản hay 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} không thể là số hữu tỉ - mâu thuẫn với giả thiết 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Vậy 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} phải là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên tương tự với cách dùng phép dựng hình để chứng minh giả thuyết về số 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} - một loại phương pháp chứng minh được sử dụng bởi các nhà hình học Hy lạp cổ đại. Xét một tam giác vuông cân mà độ dài tương ứng của các cạnh góc vuông và cạnh huyền là hai số nguyên dương n và m. Áp dụng Định lý Pytago, ta suy ra tỉ số m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} bằng 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} . Mặt khác, bằng phương pháp dựng hình cổ điển com-pa và thước thẳng ta dựng được một tam giác vuông cân nhỏ hơn với độ dài của các cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng bằng m − n {\displaystyle m-n} và 2 n − m {\displaystyle 2n-m} . Áp dụng Định lý Pytago cho tam giác thứ hai, ta suy ra tỉ số 2 n − m m − n {\displaystyle {\frac {2n-m}{m-n}}} cũng bằng 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} . Như vậy, m n = 2 n − m m − n {\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {2n-m}{m-n}}} , điều này chứng tỏ phân số m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} không thể là phân số tối giản hay 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} không phải là số hữu tỉ mà phải là số vô tỉ.

Căn bậc hai của 10

Giả sử 10 {\displaystyle {\sqrt {10}}} là số hữu tỉ, tức là bằng m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , vậy:

m 2 = 10 n 2 {\displaystyle m^{2}=10n^{2}} trong đó m, n là số nguyên

Tuy nhiên, trong hệ thập phân, bất kỳ số bình phương nào cũng có số chẵn số 0 ở cuối. (Chứng minh: Bất kỳ số nguyên n nào, trong hệ thập phân, đều có dạng: a × 10 k ; k ≥ 0 {\displaystyle a\times 10k;k\geq 0} , trong đó a không kết thúc bằng số 0. Vậy bất kỳ số bình phương n 2 {\displaystyle n^{2}} nào cũng có dạng: a 2 × 10 2 k ; k ≥ 0 {\displaystyle a^{2}\times 10^{2k};k\geq 0} .)

Như vậy, trong đẳng thức ở trên, vế trái có số chẵn số 0 ở cuối, nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết 10 {\displaystyle {\sqrt {10}}} là số hữu tỉ phải sai.

Căn bậc ba của 2

Giả sử A = 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} là một số hữu tỉ.Có nghĩa là tồn tại m,n là số nguyên sao cho A = m n {\displaystyle A={\frac {m}{n}}} . Suy ra A là nghiệm hữu tỉ của phương trình:

x 3 = 2 {\displaystyle x^{3}=2} ;

Suy ra m là ước của 2, n là ước của 1. Tuy nhiên không có m nào là ước của 2 mà lũy thừa 3 bằng 2. Vậy A là vô tỉ.

Căn bậc n của tất cả các số nguyên tố

Dùng cùng phương pháp này, ta có thể chứng minh rằng căn bậc n của bất kỳ số nguyên nào cũng phải hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ.

Lấy số nguyên bất kỳ r.

• Ví dụ, r = 2.

Trong hệ nhị phân, 2 = 10 2 {\displaystyle 2=10_{2}}

Vậy, như ở trên, nếu 10 2 {\displaystyle {\sqrt {10_{2}}}} = m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} thì, trong hệ nhị phân:

m 2 = 10 2 n 2 {\displaystyle m^{2}=10_{2}n^{2}} trong đó m, n là số nguyên

Trường hợp n = 1 không thể xảy ra, vì ta biết 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} không phải là số nguyên.

Lập luận như trên, vế trái có số chẵn số 0 (trong hệ nhị phân) ở cuối, nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết 10 2 {\displaystyle {\sqrt {10_{2}}}} là số hữu tỉ phải sai.

• Với số nguyên r bất kỳ, cũng chứng minh như trên trong hệ r - phân:

m 2 = 10 r n 2 {\displaystyle m^{2}=10_{r}n^{2}} trong đó m, n là số nguyên

Nếu n = 1 thì m 2 = 10 r = r {\displaystyle m^{2}=10_{r}=r} , vậy r {\displaystyle {\sqrt {r}}} là số nguyên.

Còn nếu n ≠ 1 thì, như trên, một số bình phương trong hệ r - phân phải có số chẵn số 0 (trong hệ r - phân) ở cuối. Do đó trong đẳng thức này vế trái có số chẵn số 0 ở cuối nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy r {\displaystyle {\sqrt {r}}} không thể là số hữu tỉ.

Bổ sung của rimusm: trong các phép toán học, nếu chứng minh được "tồn tại một ngoại lệ nào đó", thì phép định nghĩa "tất cả" được chứng minh là SAI. Ở đây, mình chỉ ra được một tồn tại, đó là căn bậc hai của 4 sẽ bằng "2", và 4 là một số nguyên, 2 là một số nguyên (không phải là một số vô tỉ). Như vậy, tiêu đề phải sửa là "căn bậc hai của tất cả các số nguyên tố đều là số vô tỉ".

Tỉ lệ vàng

Cách chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ vàng, bằng compa và thước thẳng.

Điểm I chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ vàng nếu A, I, B thẳng hàng và

A I A B = I B A I = 1 + 5 2 {\displaystyle {AI \over AB}={IB \over AI}={1+{\sqrt {5}} \over 2}} với Ai > IB

Tỉ số vàng là một số vô tỉ. Thật vậy, giả sử tỉ số này là một số hữu tỉ, thì nó có dạng phân số tối giản là x a {\displaystyle {\frac {x}{a}}} , với x là chiều dài của cả đoạn và a là chiều dài của phần lớn. Suy ra, chiều dài của phần nhỏ là x − a. Và ta có:

x a = w h o l e l o n g e r   p a r t = l o n g e r   p a r t s h o r t e r   p a r t = a x − a {\displaystyle {x \over a}={\mathrm {whole} \over \mathrm {longer} \ \mathrm {part} }={\mathrm {longer} \ \mathrm {part} \over \mathrm {shorter} \ \mathrm {part} }={a \over x-a}}

Điều này có nghĩa là phân số tối giản x a {\displaystyle {\frac {x}{a}}} được rút gọn thành a x − a {\displaystyle {\frac {a}{x-a}}} - một sự vô lý. Sự vô lý này chứng tỏ việc thừa nhận tỉ số φ là số hữu tỉ là sai. Vậy φ là một số vô tỉ.

Lôgarít

Có lẽ, các số vô tỉ dễ nhận ra nhất là các lôgarít. Dưới đây ta sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh rằng log23 là một số vô tỉ:

1. Giả sử log23 là một số hữu tỉ. Khi đó tồn tại hai số nguyên dương m và n thỏa mãn: log23 = m/n.
2. Từ (1) suy ra 2m/n = 3.
3. Nâng hai vế của (2) lên lũy thừa bậc n, ta có: 2m = 3n.
4. Mặt khác, 2m - lũy thừa cơ số 2 với số mũ nguyên dương luôn lớn hơn 0 và chẵn (vì là tích với ít nhất một thừa số 2), còn 3n - lũy thừa cơ số 3 với số mũ nguyên dương luôn lớn hơn 0 và lẻ (vì là tích của các thừa số lẻ), nên 2m ≠ 3n.
5. Từ (3) và (4) suy ra mâu thuẫn, chứng tỏ điều giả sử ban đầu: "log23 là một số hữu tỉ" là sai.

Tương tự, bạn có thể chứng minh cho trường hợp: log102.

Chứng minh e là số vô-tỉ

Xem chứng minh ở bài số e.